Question

以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)有（　　）
①函數(shù)f（x）=log₂x與函數(shù)f(x)=log

1

2

x的圖象關(guān)于x軸對稱；
②集合A={x|ax²-4x+4=0，a∈R}恰有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為1；
③函數(shù)f（x）=sinx圖象的對稱中心坐標(biāo)為（kπ，0），（k∈Z）；
④已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-

1

2x

．

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

分析：①由于函數(shù)f(x)=log

1

2

x=-log₂x，可知函數(shù)f（x）=log₂x與函數(shù)f(x)=log

1

2

x的圖象關(guān)于x軸對稱；
②當(dāng)a=0時(shí)，由-4x+4=0，解得x=1，此時(shí)A只含有一個(gè)元素；當(dāng)△=（-4）²-16a=0，此時(shí)A也只含有一個(gè)元素；
③令sinx=0，解得x=kπ（k∈Z），即可得到函數(shù)f（x）=sinx圖象的對稱中心；
④設(shè)x＜0，則-x＞0，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：f（x）=-f（-x）=-2^-x=-

1

2x

．

解答：解：①∵函數(shù)f(x)=log

1

2

x=-log₂x，∴函數(shù)f（x）=log₂x與函數(shù)f(x)=log

1

2

x的圖象關(guān)于x軸對稱，因此正確；
②當(dāng)a=0時(shí)，由-4x+4=0，解得x=1，此時(shí)A={1}只含有一個(gè)元素；當(dāng)△=（-4）²-16a=0，即a=1時(shí)，由x²-4x+4=0，解得x=2，
∴此時(shí)A={2}只含有一個(gè)元素；綜上可知：a=0或1．
③令sinx=0，解得x=kπ（k∈Z），因此函數(shù)f（x）=sinx圖象的對稱中心坐標(biāo)為（kπ，0），（k∈Z），故正確；
④設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-2^-x=-

1

2x

，因此正確．
綜上可知：①②③④都正確．
故選：D．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式△的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．