Question

（理科）在平面直角坐標系中，F為拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，M為拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為．
（1）求拋物線C的方程；
（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M；若不存在，說明理由．
（3）若點M的橫坐標為2，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A、B，l與圓Q有兩個不同的交點D、E，用含k的式子表示 AB²+DE²．

Answer 1

解：（1）∵⊙Q過M、F、O三點，
∴Q一定在線段FO的中垂線上，
∵拋物線x²=2py的焦點F（0，），O（0，0）
∴FO的中垂線為：y=，
設Q（x_Q，y_Q），得yQ=，
結合拋物線的定義，得Q到拋物線C的準線的距離為-（-）=，解之得p=1
由此可得，拋物線C的方程為x²=2y；
（2）設存在點M（x₀，），拋物線化成二次函數：y=x²，
對函數求導數，得y′=x，得切線MQ：y-=x₀（x-x₀），
由（1）知，y_Q=，所以對MQ方程令y=，得x_Q=
∴Q（，），
結合|MQ|=|OQ|得
∴
∵M為拋物線C上位于第一象限內的任意一點，
∴存在M（，1），使得直線MQ與拋物線C相切于點M；
（3）當x₀=2時，由（2）的Q（，），⊙Q的半徑為：r=所以⊙Q的方程為（x-）2+（y-）2=．
由，整理得2x²-4kx-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
直線方程代入圓的方程，整理得（1+k²）x²-x-=0，
設D，E兩點的坐標分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△＞0，x₃+x₄=，x₃x₄=-．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=+，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）++．
分析：（1）⊙Q過M、F、O三點，結合圓的性質得Q點一定在線段FO的中垂線上，再根據Q到拋物線C的準線的距離，建立方程求得p，從而得到拋物線C的方程；
（2）將拋物線化成二次函數，利用導數的幾何意義，得到切線方程，從而確定Q的坐標，利用|QM|=|OQ|，即可求出M的坐標；
（3）求出⊙Q的方程，利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，即可得到|AB|²+|DE|²的表達式．
點評：本題給出拋物線上兩個點與它的焦點在同一個圓上，在已知圓心到準線距離的情況下求拋物線方程并探索拋物線的切線問題，著重考查了拋物線的標準方程、簡單幾何性質和直線與拋物線關系等知識，屬于中檔題．