【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)討論的單調(diào)性,并證明有且僅有兩個零點;

(Ⅱ)設(shè)的一個零點,證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.

【答案】(Ⅰ),單調(diào)遞增,證明見解析;(Ⅱ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)先求得函數(shù)的定義域,利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點存在性定理證得有且僅有兩個零點.

(Ⅱ)令,得.利用求得曲線處的切線,求得與此切線的斜率相等的曲線的切線方程,利用判斷出這兩條切線方程相同,由此證得結(jié)論成立.

(Ⅰ)的定義域為,

因為,所以,單調(diào)遞增.

因為,所以有唯一零點

因為,由,得;

因為,所以有唯一零點.

綜上,有且僅有兩個零點.

(Ⅱ)由題設(shè)知,即,

,得,曲線處的切線為:

,即.

,得,則曲線的斜率為的切線的切點橫坐標滿足,解得,代入,得

故曲線的斜率為的切線方程為,即,

,得,從而為同一條直線.

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