已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且對任意正整數(shù)n總有Sn=p(an-1)(p為常數(shù),且p≠0,p≠1),數(shù)列{bn}滿足
bn=kn+q(q為常數(shù))
(1)求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及通項(xiàng)公式(用p表示);
(2)若恰好存在唯一實(shí)數(shù)p使得a1=b1,a3=b3,求實(shí)數(shù)k的取值的集合.
分析:(1)先把n=1直接代入求出數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1,再利用an=Sn-Sn-1 (n≥2)找到遞推關(guān)系式整理即可求通項(xiàng)公式;
(2)先把已知條件代入整理為(
p
p-1
)
3
-
p
p-1
=2k
,再借助于函數(shù)f(x)=x3-xx≠0且x≠1的圖象來求實(shí)數(shù)k的取值的集合.
解答:精英家教網(wǎng)
解:(1)由題a1=s1=p(a1-1)?a1=
p
p-1
(p≠0,p≠1),
當(dāng)n≥2時,an=sn-sn-1=p(an-an-1)?(p-1)an=pan-1,
an
an-1
=
p
p-1
(常數(shù)).
所以{an}是以
p
p-1
為首項(xiàng),
p
p-1
為公比的等比數(shù)列,
所以an=
p
p-1
• (
p
p-1
) n-1(
p
p-1
)
n
 

(2)
a1=b1
a3=b3
?
p
p-1
=k+q
(
p
p-1
)
3
=3k+q
?(
p
p-1
)
3
=2k+
p
p-1
?(
p
p-1
)
3
-
p
p-1
=2k
,
考慮函數(shù)f(x)=x3-xx≠0且x≠1
則f'(x)=3x2-1=3(x+
3
3
)(x-
3
3

所以f(x)=x3-xx≠0且x≠1,在(-∞,-
3
3
),(
3
3
,1),(1,+∞)上為增函數(shù);
在(-
3
3
,
3
3
)上為減函數(shù);
恰好存在唯一實(shí)數(shù)p使得a1=b1,a3=b3,
只要方程x3-x=2k恰有一個實(shí)數(shù)解.
由圖象可知,實(shí)數(shù)k的取值的集合為(-∞,-
2
3
9
)∪{0}∪(
2
3
9
,+∞).
點(diǎn)評:本題是對數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列與函數(shù)綜合的考查.本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)在與轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)=x3-xx≠0且x≠1的取值,借助于其圖象來求對應(yīng)實(shí)數(shù)k的取值.
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