已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)（-2，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，并且離心率為
2
3
3
．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（0，1），設(shè)P（x0，y0）是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求
MP
•
MQ
的取值范圍．
分析：（I）設(shè)雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1（a＞0，b＞0），依據(jù)題意，求出a、c、b的值，最后寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x0，-y0），根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算寫出
MP
=(x0，y0-1)，
MQ
=(-x0，-y0-1)從而
MP
•
MQ
=-x02-y02+1再結(jié)合雙曲線的范圍得出x02≥3，從而求得
MP
•
MQ
的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1（a＞0，b＞0），半焦距c，
依題意得　　
c
a
=
2
3
3
c=2
解得a=
3
，b=1，
∴所求雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1．
（Ⅱ）依題意有：Q（-x0，-y0），∴
MP
=(x0，y0-1)，
MQ
=(-x0，-y0-1)
∴
MP
•
MQ
=-x02-y02+1
，又
x 02
3
-y 02=1，
MP
•
MQ
=-
4
3
x
2
0
+2，由
x 02
3
-y 02=1可得，x02≥3，
MP
•
MQ
=-
4
3
x
2
0
+2≤-2故
MP
•
MQ
的取值范圍x≤-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和向量運(yùn)算的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，漸近線方程是3x±2y=0，左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(-
13
，0)，A、B為雙曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足
OA
•
OB
=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求
1
|
OA
|2
+
1
|
OB
|2
的值；
（Ⅲ）動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，滿足
OP
•
AB
=0，求證：點(diǎn)P在定圓上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，P（1，-2）是C上的點(diǎn)，且y=
2
x是C的一條漸近線，則C的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，D（1，0）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點(diǎn)（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn) （A，B都不同于點(diǎn)D），求
DA
•
DB
的值；
（3）對(duì)于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點(diǎn)，M，N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)（M，N都不同于點(diǎn)E），且EM⊥EN，求證：直線MN與x軸的交點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(
5
，0)，
e1
=(2，1)、
e2
=(2，-1)分別是兩條漸近線的方向向量．任取雙曲線C上的點(diǎn)P，其中
op
=m
e1
+n
e2
（m，n∈R），則m，n滿足的一個(gè)等式是
4mn=1
4mn=1
．

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