Question

（2012•閔行區(qū)三模）已知橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)依次為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，

MF1

•

MF2

=0．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設(shè)G是點(diǎn)F₁關(guān)于點(diǎn)F₂的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在橢圓T上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PG

，若存在，求出這兩點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₂的直線交橢圓T于R、S兩點(diǎn)，線段RS的垂直平分線與y軸相交于一點(diǎn)T（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知得b=2，由

MF1

•

MF2

=0可得c，根據(jù)a²=b²+c²可求得a；
（2）由（1）易求F₁、F₂、G的坐標(biāo)，假設(shè)存在兩點(diǎn)P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PG

，則四邊形PF₁QG是平行四邊形，且點(diǎn)P、Q關(guān)于點(diǎn)F₂對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而可得PQ⊥x軸，聯(lián)立方程組可解得兩點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；
（3）當(dāng)RS⊥x軸時(shí)，易知y₀=0；當(dāng)RS與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線RS的方程為y=k（x-2）（k≠0）．聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），線段RS的中點(diǎn)為D（x_D，y_D），由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式可得線段RS的垂直平分線方程，令x=0可得y₀，按k＜0，k＞0兩種情況利用基本不等式即可求得y₀的范圍；

解答：解：（1）由已知可得 b=2，
設(shè)半焦距為c，則

MF1

•

MF2

=（-c，-2）•（c，-2）=-c²+4=0，得c²=4，
所以a²=b²+c²=8，
所求橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由（1）可求得F₁、F₂、G的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（2，0）、（6，0），
設(shè)在橢圓T上存在兩點(diǎn)P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PG

，則四邊形PF₁QG是平行四邊形，且點(diǎn)P、Q關(guān)于點(diǎn)F₂對(duì)稱(chēng)；  
由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，PQ⊥x軸，且PQ過(guò)點(diǎn)F₂，解

x=2 x2+2y2=8

得：

x=2 y=± 2

，
所以在橢圓T上存在兩點(diǎn)P（2，

2

）、Q（2，-

2

），使

PQ

=

PF1

+

PG

．
（3）當(dāng)RS⊥x軸時(shí)，顯然y₀=0．
當(dāng)RS與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線RS的方程為y=k（x-2）（k≠0）．
由

y=k(x-2) x2+2y2=8

消去y整理得，（1+2k²）x²-8k²x+8（k²-1）=0．
設(shè)R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），線段RS的中點(diǎn)為D（x_D，y_D），則 x₃+x₄=

8k2

1+2k2

．
所以xD=

x3+x4

2

=

4k2

1+2k2

，y_D=k（x_D-2）=

-2k

1+2k2

．
線段RS的垂直平分線方程為y+

2k

1+2k2

=-

1

k

（x-

4k2

1+2k2

）．
在上述方程中令x=0，得y0=

2k

1+2k2

=

2

1 k +2k

．
當(dāng)k＜0時(shí)，

1

k

+2k≤-2

2

，所以-

2

2

≤y₀＜0；當(dāng)k＞0時(shí)，

1

k

+2k≥2

2

，0＜y₀≤

2

2

．
綜上，y₀的取值范圍是[-

2

2

，

2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．