Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC,AC,，點(diǎn)M在線段PD上.

（1）求證：平面PAC；
（2）若二面角M-AC-D的大小為，試確定點(diǎn)M的位置.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

試題分析：（1）要證平面，只要證：,由題設(shè)平面
得，結(jié)合條件，可證平面，從而有，結(jié)論可證.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示
寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)M的位置.

解證：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051119077394.png" style="vertical-align:middle;" />平面， 平面
所以 ,                    2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051119514552.png" style="vertical-align:middle;" />，，平面，,
所以平面                              3分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051120247433.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以                                   4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051120247433.png" style="vertical-align:middle;" />，，平面，,
所以 平面                                 6分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051120575366.png" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，又由（1）知，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .則,,，,,
設(shè)，,則 ，
故點(diǎn)坐標(biāo)為,        8分
設(shè)平面的法向量為，則       9分
所以
令，則.                          10分
又平面的法向量 
所以,   解得
故點(diǎn)為線段的中點(diǎn).                          12分