Question

【題目】如圖，的外心為O，E是AC的中點(diǎn)，直線OE交AB于點(diǎn)D，M、N分別是的外心、內(nèi)心.若AB=2BC，證明：為直角三角形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

證法1：如圖，由于點(diǎn)O、M皆在BC的中垂線上

設(shè)直線OM交BC于點(diǎn)P，交于點(diǎn)F

則P是BC的中點(diǎn)，F是BC的的中點(diǎn)

因N是的內(nèi)心，所以，D、N、F三點(diǎn)共線，且

又OE是AC的中垂線，則DC=DA

而DF、OE為∠BDC的內(nèi)、外角平分線，故

則OF為的直徑，所以，OM=MF

又，則NF=BF

作于點(diǎn)H，于是

且

所以，，故DN=BF=NF

因此，MN是的中位線

從而，

而，則

故為直角三角形.

證法2：記，，

因DE是AC的中垂線，所以，AD=CD=b

有 ①

延長DN交于點(diǎn)F，并記FN=e，DN=x

則FB=FC=FN=e

對(duì)圓內(nèi)接四邊形BDCF應(yīng)用托勒密定理得

即 ②

由式①、②得

故知N是弦DF的中點(diǎn)

而M為外心，所以，

故為直角三角形.