Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形， .

（Ⅰ）若，求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，求與平面所成角.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析；（III）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，證明為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可證明平面；（2）先證明， ，可證明平面，從而可證明平面平面；（3）做于為與平面所成角，根據(jù)余弦定理及等腰三角形性質(zhì)即可求與平面所成角.

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點，連接， .

∵對角線與的交點為，

∴，

∵，∴，∴為平行四邊形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面；

（Ⅱ）證明：∵四邊形為菱形，

∴，

∵， 是的中點，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（Ⅲ）

作于.

∵平面平面，∴平面，

∴為與平面所成角，

由題意， 為正三角形， ，

∵，

∴為正三角形，∴.

中，由余弦定理可得，

∴，

∴，

∴與平面所成角.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（Ⅰ）是就是利用方法①證明的.