Question

某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時刻x（時）的關(guān)系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

1

2

]．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，直接寫出t的取值范圍；（可以不要寫演算寫過程）
（2）若用每天f（x）的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a），求M（a）；
（3）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不超過2稱為“環(huán)保達(dá)標(biāo)”，試問a應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)才能“環(huán)保達(dá)標(biāo)”？

Answer 1

分析：（1）利用取倒數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得t的取值范圍；
（2）當(dāng)a∈（0，

1

2

]時，記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得f（x）的最大值；
（3）分段求出每天的綜合放射性污染指數(shù)不超過2時a的范圍，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)0＜x≤24時，

1

t

=x+

1

x

．
對于函數(shù)y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴當(dāng)0＜x＜1時，y′＜0，函數(shù)y=x+

1

x

單調(diào)遞減，當(dāng)1＜x≤24時，y′＞0，函數(shù)y=x+

1

x

單調(diào)遞增，
∴y∈[2，+∞）．
綜上，t的取值范圍是[0，

1

2

]；
（2）由（1）知t的取值范圍是[0，

1

2

]；
當(dāng)a∈（0，

1

2

]時，記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，則g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，

1

2

]上單調(diào)遞增，且g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，
∴g（0）-g（

1

2

）=2（a-

1

4

）．
故M（a）=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．
（3）當(dāng)0≤a≤

1

4

時，M(a)=a+

7

6

＜2，
當(dāng)

1

4

＜a≤

1

2

，令M(a)=3a+

2

3

≤2，得

1

4

＜a≤

4

9

綜上知當(dāng)a控制在[0，

4

9

]范圍內(nèi)，才能“環(huán)保達(dá)標(biāo)”．

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分類討論的思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．