Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過的直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若橢圓的焦距為，為橢圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線在軸上的截距為（不與軸重合），求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

(1)設(shè),利用,解得,將其代入橢圓方程可得,再用離心率公式可得;

(2)由(1)及可求得橢圓方程,設(shè)的中點(diǎn)為,可求得直線的方程,用中點(diǎn)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo),將其代入橢圓方程可得一個(gè)關(guān)于的方程,在直線的方程中令,,也可得一個(gè)關(guān)于的方程,兩個(gè)方程聯(lián)立可解得和,從而可得直線的方程.

（1），設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以，，解得：，，所以，，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以有：，即，

所以離心率.

（2）依題意有：，所以，，

又，且，解得：，，

所以橢圓方程為：，

設(shè)的中點(diǎn)為，則，故有，

從而的方程為：

令得到，

整理得①,

利用中點(diǎn)公式可得,將其代入橢圓方程得 ,

整理得②,

聯(lián)立①②方程解得或，

當(dāng)時(shí),可得直線與軸重合,不合題意舍去,

所以,此時(shí),解得或，

故的方程為或者.