【題目】如圖,已知DP⊥y軸,點(diǎn)D為垂足,點(diǎn)M在線段DP的延長線上,且滿足|DP|=|PM|,當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=3上運(yùn)動時
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)直線l:x=my+3(m≠0)交曲線C于A、B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B1(點(diǎn)B1與點(diǎn)A不重合),且直線B1A與x軸交于點(diǎn)E. ①證明:點(diǎn)E是定點(diǎn);
②△EAB的面積是否存在最大值?若存在,求出最大值,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)M(x,y),則P( x,y),代入x2+y2=3,可得 x2+y2=3,即
(2)①證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線與橢圓C方程聯(lián)立,

化簡并整理得(m2+4)y2+6my﹣3=0,

∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣

由題設(shè)知B1(x2,﹣y2),∴直線AB1的方程為y﹣y1= (x﹣x1),

令y=0得x= =4,

∴點(diǎn)E(4,0)…(7分)

②△EAB的面積S= |PF||y1﹣y2|=2 =2 ≤1

當(dāng)且僅當(dāng) ,即m= 時等號成立,

∴△PMN的面積存在最大值,最大值為1


【解析】(1)利用代入法,即可求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)①由題意,設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),可得直線AB1的方程,令y=0,可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0). ②利用△EAB的面積為S= |PF||y1﹣y2|=2 ,化簡,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn),求M、N兩點(diǎn)間的距離.

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(2)電商對選出的某商品采用促銷方案是有獎銷售,顧客購買該商品,一共有3次抽獎的機(jī)會,若中獎,則每次都活動數(shù)額為40元的獎券,假設(shè)顧客每次抽獎時中獎的概率都是 ,且每次中獎互不影響,設(shè)一位顧客中獎金額為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和期望.

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身高(cm)

[160,165)

[165,170)

[170,175)

[175,180)

[180,185)

[185,190)

頻數(shù)

2

5

14

13

4

2

表2:女生身高頻數(shù)分布表

身高(cm)

[150,155)

[155,160)

[160,165)

[165,170)

[170,175)

[175,180)

頻數(shù)

1

7

12

6

3

1


(1)求該校高一女生的人數(shù);
(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在[165,180)的概率;
(3)以樣本頻率為概率,現(xiàn)從高一年級的男生和女生中分別選出1人,設(shè)X表示身高在[165,180)學(xué)生的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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