Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}前三項(xiàng)成等差數(shù)列，求的值；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)0<a<b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a<S_n<b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)  
(2) λ≠-6時(shí)，數(shù)列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.
(3) λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）

試題分析：（Ⅰ）證明：，
由條件可得，所以  （4分）
(Ⅱ)解：因?yàn)?i>b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+9］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+6)
=(-1)ⁿ·（a_n-3n+9）=-b_n
又b₁=,所以
當(dāng)λ＝－6時(shí)，b_n=0(n∈N⁺),此時(shí)｛b_n｝不是等比數(shù)列，
當(dāng)λ≠－6時(shí)，b₁=≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).
故當(dāng)λ≠-6時(shí)，數(shù)列｛b_n｝是以－(λ＋6)為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列. （10分）
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-6,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-6，故知b_n= －(λ+6)·(－)^n-1，于是可得
S_n=
要使a<S_n<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，
即a<-(λ+6)·［1－（－）ⁿ］<b(n∈N⁺)
   ①
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)
∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+6)<
當(dāng)a<b3a時(shí)，由－b－6－3a－6，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；
當(dāng)b>3a時(shí)存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,
且λ的取值范圍是（－b－6, －3a－6）  （16分）
點(diǎn)評(píng)：熟練的根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和求和來求解，屬于中檔題。