Question

已知橢圓E：（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，離心率為，直線l：x+2y-2=0與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF₁+PF₂|=2a，求a的取值范圍．

Answer 1

解：解法一：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，故，
由A（2，0），得，∴，
所以所求的橢圓方程為．
（Ⅱ）由，可設(shè)橢圓方程為，
聯(lián)立得，
已知線段E上存在點(diǎn)E滿足E，即線段E與橢圓E有公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程在x∈[0，2]上有解．
∴，
由x∈[0，2]，故，
故所求的a的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）因?yàn)橹本�l：x+2y-2=0與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，可求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，求出a=2，
根據(jù)（Ⅱ橢圓的離心率為，求出c值，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系求出b的值，得到橢圓E的方程．
（Ⅱ）因?yàn)榫�段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF₁+PF₂|=2a，則P為線段AB與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，也即線段E與橢圓E有公共點(diǎn)．所以若聯(lián)立方程，則方程組有解，可通過判斷方程組何時(shí)在[0，2]上有解來求a的范圍．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓關(guān)系的判斷，做題時(shí)要認(rèn)真分析，避免出錯(cuò)．