【題目】已知函數(shù) ,g(x)=x+lnx,其中a>0.
(1)若x=1是函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意的x1 , x2∈[1,e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有f(x1)≥g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵ ,g(x)=x+lnx,
∴ ,其定義域?yàn)椋?,+∞),
∴ .
∵x=1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn),
∴h′(1)=0,即3﹣a2=0.
∵a>0,∴
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) 時(shí),x=1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn),
∴
(2)解:對(duì)任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價(jià)于
對(duì)任意的x1,x2∈[1,e]都有[f(x)]min≥[g(x)]max.
當(dāng)x∈[1,e]時(shí), .
∴函數(shù)g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函數(shù).
∴[g(x)]max=g(e)=e+1.
∵ ,且x∈[1,e],a>0.
①當(dāng)0<a<1且x∈[1,e]時(shí), ,
∴函數(shù) 在[1,e]上是增函數(shù),
∴ .
由1+a2≥e+1,得a≥ ,
又0<a<1,∴a不合題意;
②當(dāng)1≤a≤e時(shí),
若1≤x<a,則 ,
若a<x≤e,則 .
∴函數(shù) 在[1,a)上是減函數(shù),在(a,e]上是增函數(shù).
∴[f(x)]min=f(a)=2a.
由2a≥e+1,得a≥ ,
又1≤a≤e,∴ ≤a≤e;
③當(dāng)a>e且x∈[1,e]時(shí), ,
∴函數(shù) 在[1,e]上是減函數(shù).
∴ .
由 ≥e+1,得a≥ ,
又a>e,∴a>e;
綜上所述:a的取值范圍為
【解析】(1)通過 、x=1是函數(shù)h(x)的極值點(diǎn)及a>0,可得 ,再檢驗(yàn)即可; (2)通過分析已知條件等價(jià)于對(duì)任意的x1 , x2∈[1,e]都有[f(x)]min≥[g(x)]max . 結(jié)合當(dāng)x∈[1,e]時(shí)及 可知[g(x)]max=g(e)=e+1.利用 ,且x∈[1,e],a>0,分0<a<1、1≤a≤e、a>e三種情況討論即可.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
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A.a>b是ac2>bc2的充要條件
B.a>1,b>1是ab>1的充分條件
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D.若p∨q為真命題,則p∧q為真
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(1)求橢圓的方程;
(2)若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合,直線與拋物線交于兩點(diǎn),且,求的面積的最大值.
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(Ⅱ)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬元,求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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