Question

19．通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講授開始時，學(xué)生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實驗表明，用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示學(xué)生的接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：min），可有以下公式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.1{x}^{2}+2.6x+43（0＜x≤10）}\\{59（10＜x≤16）}\\{-3x+107（16＜x≤30）}\end{array}\right.$
（1）講課開始后5min和講課開始后20min比較，何時學(xué)生的注意力更集中？
（2）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)多久？
（3）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解13min，并且要求學(xué)生的注意力至少達到55，那么老師能否在學(xué)生達到所需狀態(tài)下講授完這道題目？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47，即可得出；
（2）當(dāng)0＜x≤10時，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9，可得f（x）在0＜x≤10時單調(diào)遞增，最大值為f（10）=59．當(dāng)10＜x≤16時，f（x）=59；當(dāng)x＞16時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59．即可得出；
（3）當(dāng)0＜x≤10時，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；當(dāng)x＞16時，令f（x）=55，解得x=17$\frac{1}{3}$，即可得到學(xué)生一直達到所需接受能力55的狀態(tài)的時間，進而判斷出老師能否及時在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．

解答 解：（1）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47＜53.5，
因此開講5分鐘比開講20分鐘時，學(xué)生的接受能力強一些．
（2）當(dāng)0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
f（x）在0＜x≤10時單調(diào)遞增，最大值為f（10）=-0.1×（10-13）²+59.9=59．
當(dāng)10＜x≤16時，f（x）=59；當(dāng)x＞16時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59．
因此開講10分鐘后，學(xué)生的接受能力最強（為59），能維持6分鐘．
（3）當(dāng)0＜x≤10時，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；
當(dāng)x＞16時，令f（x）=55，解得x=17$\frac{1}{3}$，
可得學(xué)生一直達到所需接受能力55的狀態(tài)的時間=17$\frac{1}{3}$-6=11$\frac{1}{3}$＜13，
因此老師不能及時在學(xué)生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．

點評 本題考查了分段函數(shù)的意義、二次函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．