【題目】如圖,在四面體ABCD中,AC6,BABC5ADCD3 .

1)求證:ACBD;

2)當四面體ABCD的體積最大時,求點A到平面BCD的距離.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)取AC的中點O,連接OBOD,證明AC⊥平面OBD,即可得證;

2)當四面體ABCD的體積最大時,平面DAC⊥平面ABC,利用等體積法求解點到平面距離.

1)證明:

如圖,取AC的中點O,連接OBOD,∵BABC,

ACOB ADCD,∴ACOD,又ODOBO

AC⊥平面OBD,又BD平面OBD,∴ACBD.

2)由題可知,當四面體ABCD的體積最大時,平面DAC⊥平面ABC,∵DOAC,

DO⊥平面ABC,又OB平面ABC,∴DOOB,

DADC3AC6,ABBC5,∴OD3,

OB4,∴DB5,

BC5,

∴在△BCD中,CD邊上的高h,

SBCD×CD×h×3×,SABC×AC×OB×6×412.

設(shè)點A到平面BCD的距離為d,∴VABCDVDABC,即SBCD×dSABC×OD,

d,∴點A到平面BCD的距離為.

練習冊系列答案
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