Question

如圖三棱錐P-ABC，已知PC⊥平面ABC，CD⊥面PAB，BA=BC，PC=AC=2．
（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成的角的大�。�
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)PC⊥平面ABC，CD⊥面PAB，BA=BC，PC=AC=2求出BC，再建立空間直角坐標(biāo)系求出個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而求出

AP

，

BC

的坐標(biāo)，最后直接代入兩向量夾角的計(jì)算公式即可；（Ⅱ）先根據(jù)條件求出平面PAB的法向量以及平面PAC的法向量的坐標(biāo)，最后計(jì)算出其數(shù)量積進(jìn)而求出二面角C-PA-B的余弦值

解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥AB．
又∵CD⊥面PAB，
∴CD⊥AB．PC∩PD=P，
∴AB⊥面PCB．∴AB⊥BC．…（2分）
∵PC=AC=2，∴BC=

2

．
以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，

2

，0)，B(0，0，0)，C(

2

，0，0)，P(

2

，0，2)．

AP

=(

2

，-

2

，2)，

BC

=(

2

，0，0)．

AP

•

BC

=

2

×

2

+0+0=2．
設(shè)AP與BC所成的角為θ，cosθ=|

AP • BC

| AP || BC |

|=

2

2× 2 × 2

=

1

2

∴異面直線AP與BC所成的角為

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)平面PAB的法向量為m=(x，y，z).

AB

=(0，-

2

，0)，

AB

=(

2

，-

2

，2)．
∴

AB •m=0 AP •m=0.

∴

- 2 y=0 2 x- 2 y+2z=0.

∴

y=0 x=- 2 z.

令z=-1，∴m=(

2

，0，-1)．…（8分）
設(shè)平面PAC的法向量為n=(a，b，c)，

PC

=(0，0，-2)，

AC

=(

2

，-

2

，0)．
∴

PC •n=0 AC •n=0.

∴

-2c=0 2 a- 2 b=0.

∴

c=0 a=b.

令a=1，∴n=（1，1，0）．…（10分）
∴cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

2

3 × 2

=

3

3

…（11分）
∴二面角C-PA-B大小的余弦值為

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及異面直線及其所成的角．解決這類題目的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)．