Question

在△ABC中，已知角A為銳角，且f(A)=

(cos2A+1)sinA

2(cos2 A 2 -sin2 A 2 )

+

cos2A+1

2

．
（1）將f（A）化簡(jiǎn)成f（A）=Msin（ωA+φ）+N的形式；
（2）若A+B=

7π

12

，f(A)=1，BC=2，求邊AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)二倍角公式化簡(jiǎn)分式的分子，分母然后利用兩角和的正弦函數(shù)即可把函數(shù)化簡(jiǎn)成f（A）=Msin（ωA+φ）+N的形式；
（2）利用f（A）求出A的值，得到B，C的值，利用正弦定理求出AC的值即可．

解答：解：（1）f(A)=

2cos2AsinA

2cosA

+

cos2A+1

2

（2分）
=cosA•sinA+

cos2A+1

2

（1分）
=

1

2

(sin2A+cos2A+1)（1分）
=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

（2分）
（2）由f(A)=1得

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1，∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

．（2分）
∴2A+

π

4

=

3π

4

，A=

π

4

．又∵A+B=

7π

12

，∴B=

π

3

．∴C=

5π

12

．（A，B，C各（1分）共3分）
在△ABC中，由正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

．∴AC=

BCsinB

sinA

=

6

（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．