Question

事實證明：總存在正實數(shù)a，b（a＜b）使得a^b=b^a，請你寫出所有符合條件的a的取值范圍是

（1，e）

．

Answer 1

分析：把等式兩邊取對數(shù)，變形，構造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點的相關知識即可得解

解答：解：∵a^b=b^a
∴l(xiāng)na^b=lnb^a
又∵a，b是正實數(shù)
∴blna=alnb
∴

lna

a

=

lnb

b

設函數(shù)f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1-lnx

x2

令f'（x）＞0，得0＜x＜e；令f'（x）＜0，得x＞e
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減
又當x→+∞時，f（x）→0且f（x）＞0
∴f（x）的圖象如圖所示
又∵a＜b
∴1＜a＜e
故答案為（1，e）

點評：本題主要考查函數(shù)思想和數(shù)形結合思想，要求會用求導的方法確定函數(shù)的單調(diào)性．屬中檔題