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【題目】如圖，四棱錐中, 平面△為等邊三角形， 是上的點，且.

（1）求和平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點，使平面？說明理由.

【答案】（1）（2）PB中點

【解析】試題分析：（1）分別利用等腰三角形的三線合一和線面垂直的性質得到線線垂直，進而利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，作出線面角，再利用直角三角形進行求解；（2）先猜出該點位置，再利用利用線面垂直的判定定理進行證明.

試題解析：（1）取AD中點H，PD=PA, 所以,因為AB平面PAD，且PH平面PAD，

所以，又,所以平面.

∠PCH是PC和平面ABCD所成的角.

不妨令AB=2 ，CH=

在△

（2）線段上存在點，使平面.

理由如下：如圖，分別取的中點G、Ｅ，則， 由 ， 所以，所以四邊形為平行四邊形，故.

因為AB平面PAD，所以，因此， ，因為為的中點，且， ，因此.

又，所以平面.

練習冊系列答案
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【題目】（題文）從某校高一年級隨機抽取名學生，獲得了他們日平均睡眠時間（單位：小時）的數據，整理得到數據分組及頻數分布表：

組號

分組

頻數

頻率

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）若，補全表中數據，并繪制頻率分布直方圖．

（Ⅲ）假設同一組中的每個數據可用該組區(qū)間的中點值代替，若上述數據的平均值為，求，的值，并由此估計該校高一學生的日平均睡眠時間不少于小時的概率．

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【題目】如圖所示，等腰的底邊，高，點是線段上異于點的動點，點在邊上，且，現沿將△折起到△的位置，使，記， 表示四棱錐的體積．

(1)求的表達式；(2)當為何值時， 取得最大,并求最大值。

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【題目】已知圓，某拋物線的頂點為原點，焦點為圓心，經過點的直線交圓于， 兩點，交此拋物線于， 兩點，其中， 在第一象限， ， 在第二象限.

(1)求該拋物線的方程；

(2)是否存在直線，使是與的等差中項？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點，惻面底面，且.

（1）求證：平面；;

（2）求證：平面平面；

（3）求.

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【題目】近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資40萬元，由前期市場調研可知：甲城市收益P與投入（單位：萬元）滿足，乙城市收益Q與投入（單位：萬元）滿足，設甲城市的投入為（單位：萬元），兩個城市的總收益為（單位：萬元）．

（1）當甲城市投資50萬元時，求此時公司總收益；

（2）試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大？

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【題目】某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取 100 名考生的筆試成績，分為 5 組制出頻率分布直方圖如圖所示.

組號

分組

頻數

頻率

1

5

0.05

2

35

0.35

3

4

5

10

0.1

(1)求的值.

(2)該校決定在成績較好的 、4、5 組用分層抽樣抽取 6 名學生進行面試，則每組應各抽多少名學生？

(3)在(2)的前提下，從抽到 6 名學生中再隨機抽取 2 名被甲考官面試，求這 2 名學生來自同一組的概率.

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【題目】三棱錐中，側面與底面垂直，.

（1）求證：；

（2）設，求與平面所成角的大小.

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【題目】已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m為常數），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函數在[﹣2，2]上的最小值為 ．

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