已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設(shè)|DA|=l1，|DB|=l2，求
l1
l2
+
l2
l1
的最大值．
分析：（1）先設(shè)出點P的坐標(biāo)，代入
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
整理即可得到動點P的軌跡C的方程；
（2）先利用條件設(shè)出圓的方程，并求出A、B兩點的坐標(biāo)以及|DA|=l1，|DB|=l2的表達式，代入
l1
l2
+
l2
l1
整理后利用基本不等式求最大值即可．
解答：（1）解：設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），
∵
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x2-2（y-1），即x2=4y，
所以動點P的軌跡C的方程x2=4y．
（2）解：設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M（a，b），則a2=4b．①
圓M的半徑為|MD|=
a2+(b-2)2
．
圓M的方程為（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2．
令y=0，則（x-a）2+b2=a2+（b-2）2，
整理得，x2-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨設(shè)A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l1=
(a-2)2+4
，l2=
(a+2)2+4
．
∴
l1
l2
+
l2
l1
=
l12+l22
l1l2
=
2a2+16
a4+64
=2
(a2+8)2
a4+64
=2
1+
16a2
a4+64
，③
當(dāng)a≠0時，由③得，
l1
l2
+
l2
l1
=2
1+
16
a2+
64
a2
≤2
1+
16
2×8
=2
2
．
當(dāng)且僅當(dāng)a=±2
2
時，等號成立．
當(dāng)a=0時，由③得，
l1
l2
+
l2
l1
=2．
故當(dāng)a=±2
2
時，
l1
l2
+
l2
l1
的最大值為2
2
．
點評：本小題主要考查圓、拋物線、基本不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，點P到點F的距離等于點P到直線l的距離．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：x2+（y-3）2=1．
（1）若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線g交軌跡E于G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點，求證：x1x2 為定值；
（3）過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標(biāo)及S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•石家莊二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面內(nèi)動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QF
•(
QP
+
FP
)=0．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點M（0，m）（m＞0）的直線AB與曲線E交于A、B兩個不同點，設(shè)∠AFB=θ，若對于所有這樣的直線AB，都有θ∈（
π
2
，π]．求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（文）過軌跡C的準線與y軸的交點M作方向向量為
d
=（a，1）的直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，問是否存在實數(shù)a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由；
（3）（文）在問題（2）中，設(shè)線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y0），求y0的取值范圍．

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