Question

（本小題滿(mǎn)分13分）

已知數(shù)列滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)， ，令．

（Ⅰ）寫(xiě)出的所有可能的值；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）是否存在數(shù)列，使得？若存在，求出數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）的所有可能的值為：，，，，．（2）的最大值為；（3）.

【解析】第一問(wèn)中，根據(jù)題意可知當(dāng)i=5時(shí)，滿(mǎn)足條件的數(shù)列的所有可能情況有

，分別結(jié)算得到的值

第二問(wèn)中，因?yàn)檫f推關(guān)系可知由，

可設(shè)，則或（，），

那么借助于累加法的思想得到數(shù)列的通項(xiàng)公式

第三問(wèn)中，由（Ⅱ）可知，如果的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則，可知分析得到結(jié)論。

解:（Ⅰ）由題設(shè)，滿(mǎn)足條件的數(shù)列的所有可能情況有：

（1）此時(shí)；（2）此時(shí)；

（3）此時(shí)；（4）此時(shí)；

（5）此時(shí)；（6）此時(shí)；

所以，的所有可能的值為：，，，，．       ……4分

（Ⅱ）由，

可設(shè)，則或（，），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912230723387997/SYS201207091223447495177154_DA.files/image036.png">，所以

．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912230723387997/SYS201207091223447495177154_DA.files/image039.png">，所以，且為奇數(shù)，是由

個(gè)1和個(gè)構(gòu)成的數(shù)列

所以

．

則當(dāng)的前項(xiàng)取，后項(xiàng)取時(shí)最大，

此時(shí)．

證明如下：

假設(shè)的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則

的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，其中，

，，．

所以

．

所以的最大值為．                          ……9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則，若，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912230723387997/SYS201207091223447495177154_DA.files/image041.png">是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，而是偶數(shù)，因此不存在數(shù)列，使得．                                       ……13分