Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足 ， ，n∈N* ．
（1）求證：數(shù)列 為等比數(shù)列；
（2）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，t，使m，s，t成等差數(shù)列，且am﹣1，as﹣1，at﹣1成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)? ，

所以 ．

所以 ．

因?yàn)? ，則 ．

所以數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列

（2）解：由（1）知， ，

所以 ．

假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，s，t滿足條件，

則有

由 與 ，

得 ．

即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s．

因?yàn)閙+t=2s，所以3m+3t=2×3s．

因?yàn)? ，當(dāng)且僅當(dāng)m=t時(shí)等號(hào)成立，

這與m，s，t互不相等矛盾．

所以不存在互不相等的正整數(shù)m，s，t滿足條件

【解析】（1）由 ，變形可得 ，從而可證明數(shù)列 為等比數(shù)列；（2）假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)m，s，t滿足條件，則有 ，代入條件，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．