設f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若a=1，證明：x∈[1，2]時，f(x)-3＜
1x
成立．
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）要證x∈[1，2]時，f(x)-3＜
1
x
成立，由于x＞0，則只需證明ln（x+1）+x-
1
x
-3＜0在[1，2]上恒成立，構造函數(shù)g（x）=ln（x+1）+x-
1
x
-3，確定函數(shù)的單調性，即可得證．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），f′(x)=
1
x+1
+a
當a＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，由f′（x）＞0得-1＜x＜-
1
a
；由f′（x）＜0得x＞-
1
a

∴函數(shù)f（x）在（-1，-
1
a
）上是增函數(shù)，在(-
1
a
，+∞)上是減函數(shù)；
（Ⅱ）a=1時，f（x）=ln（x+1）+x
要證x∈[1，2]時，f(x)-3＜
1
x
成立，
即證明ln（x+1）+x-
1
x
-3＜0在[1，2]上恒成立，
令g（x）=ln（x+1）+x-
1
x
-3，易得函數(shù)g（x）在x∈[1，2]時單調遞增
∵g（1）=0，
則g（x）≥0
∴x∈[1，2]時，f(x)-3＜
1
x
成立．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，考查不等式的證明，確定函數(shù)的單調性是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
（1）試用含有a的式子表示b，并求f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數(shù)f（x）的最大值為g（a），試證明不等式：g（a）＞ln（1+
a
2
）-1
（3）首先閱讀材料：對于函數(shù)圖象上的任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)圖象上存在點M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在點M處的切線l∥AB，則稱AB存在“相依切線”特別地，當x0=
x1+x2
2
時，則稱AB存在“中值相依切線”．請問在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切線”？若存在，求出一組A、B的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•遼寧）設f（x）=ln（x+1）+
x+1
+ax+b（a，b∈R，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=
3
2
x在（0，0）點相切．
（I）求a，b的值；
（II）證明：當0＜x＜2時，f（x）＜
9x
x+6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當x≥0時，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
（3）設函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內的零點個數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•洛陽模擬）設f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
（Ⅰ）當m=1時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若當1≤x≤
74
，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
（1）討論函數(shù)g(x)=af(x)-
1
2
x2（a≥0）的單調性．
（2）求證：(1+
1
1
)(1+
1
2
)(1+
1
3
)…(1+
1
n
)＜e
n+2
2
（n∈N*）

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