已知正項數(shù)列中，其前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和，求證：.
（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、放縮放、累加法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，法一，利用轉(zhuǎn)化已知表達(dá)式中的，證明數(shù)列為等差數(shù)列，通過，再求；法二，利用轉(zhuǎn)化，證明數(shù)列為等差數(shù)列，直接得到的通項公式；第二問，要證，只需要證中每一項都小于中的每一項，利用放縮法，先得到，，只需證，通過放縮法、累加法證明不等式.
（1）法一：由得
當(dāng)時，，且，故               1分
當(dāng)時，，故，得，
∵正項數(shù)列，
∴                           4分
∴是首項為，公差為的等差數(shù)列.
∴  ，
∴  .                       6分
法二：
當(dāng)時，，且，故              1分
由得，                 2分
當(dāng)時，
∴ ，
整理得 
∵正項數(shù)列，，
∴ ，                           5分
∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
∴  .                           6分
（2）證明：先證：        7分
.
故只需證，              9分
因為[]2

所以                  12分
所以
當(dāng)取得到不等式，

相加得：

即：                           14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列滿足，．
（1）求的值，由此猜測的通項公式，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知數(shù)列和的通項公式分別為，.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構(gòu)成一個新數(shù)列記為.
(1)試寫出，，，的值，并由此歸納數(shù)列的通項公式； 
(2)證明你在（1）所猜想的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（2011•重慶）設(shè)實數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=an+1Sn（n∈N*）．
（1）若a1，S2，﹣2a2成等比數(shù)列，求S2和a3．
（2）求證：對k≥3有0≤ak≤．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

關(guān)于數(shù)列有下列四個判斷：
①若成等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列；②若數(shù)列{}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列，則{}為常數(shù)列；③數(shù)列{}的前n項和為，且，則{}為等差或等比數(shù)列；④數(shù)列{}為等差數(shù)列，且公差不為零，則數(shù)列{}中不會有，其中正確判斷的序號是______．（注：把你認(rèn)為正確判斷的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

數(shù)列滿足,表示前項之積，則=  （     ）
A．-3B．3C．-2D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知實數(shù)，且按某種順序排列成等差數(shù)列．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若等差數(shù)列的首項和公差都為，等比數(shù)列的首項和公比都為，數(shù)列和的前項和分別為，且，求滿足條件的自然數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

若＝22＋λ＋3(其中λ為實常數(shù))，∈N*，且數(shù)列{}為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則首項      .

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