Question

已知，其中是自然常數(shù)，
（Ⅰ）當時, 研究的單調(diào)性與極值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；

Answer 1

（Ⅰ）的極小值為；（Ⅱ）。

試題分析：（1）因為，，那么求解導數(shù)的正負，得到單調(diào)性的求解。
（2） 的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，，構(gòu)造函數(shù)令，確定出最大值。比較大小得到。
解：（Ⅰ），   ……2分
∴當時，，此時單調(diào)遞減
當時，，此時單調(diào)遞增   …………4分 
∴的極小值為                         ……6分
（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，
∴ ，……5分
令，，  …………8分   
當時，，在上單調(diào)遞增  ………9分
∴     ………11分
∴在（1）的條件下，……………………………12分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用導數(shù)的正負判定函數(shù)單調(diào)性，和導數(shù)為零點的左右符號的正負，進而得到函數(shù)極值，進而求解最值。