【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為,且在極坐標(biāo)下點P.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線C1與曲線C2交于A,B兩點,求的值.
【答案】(1);x+y﹣1=0(2)
【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換.
(2)利用直線和曲線的位置關(guān)系式的應(yīng)用和一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.
(1)C1的參數(shù)方程:(α為參數(shù))
得,
曲線C1的直角坐標(biāo)方程:.
由,
得,
所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣1=0.
(2)點P的極坐標(biāo)為,故其直角坐標(biāo)為(0,1),
由C2:x+y﹣1=0,則其參數(shù)方程為,
將C2的參數(shù)方程代入曲線C1的方程,
得①
由于△>0恒成立,不妨令方程①有兩個不等實根t1、t2,
由于,
所以t1、t2異號,且,
則,.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.?dāng)?shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1﹣bn)an}的前n項和為2n2+n.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:過點,橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,設(shè)直線與圓相切與點,與橢圓相切于點,當(dāng)為何值時,線段長度最大?并求出最大值.
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【題目】任取一個自然數(shù),如果它是偶數(shù),我們就把它除以2,如果它是奇數(shù),我們就把它乘3再加上1,在這樣的變換下,我們就得到一個新的自然數(shù).如果反復(fù)使用這個變換,我們就會得到一串自然數(shù),最終我們都會陷在4→2→1這個循環(huán)中,這就是世界數(shù)學(xué)名題“3x+1問題”.如圖所示的程序框圖的算法思路源于此,執(zhí)行該程序框圖,若N=6,則輸出的i=( )
A.6B.7C.8D.9
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【題目】已知a,b,c分別是△ABC三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,且.
(1)求B;
(2)若b=2,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù),,為的導(dǎo)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,當(dāng)時,求證:有兩個零點.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知曲線:(為參數(shù)),曲線:(為參數(shù)),且,點P為曲線與的公共點.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)在以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為,求動點P到直線l的距離的取值范圍.
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【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點圖(如圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中,.
(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個更適宜作燒開一壺水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量成正比,那么為多少時燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數(shù)據(jù),…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
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