Question

設(shè)f(x)=

ax2+bx

．
（1）當(dāng)a=-1，b=4時(shí)，求函數(shù)f（e^x）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．）的定義域和值域；
（2）求滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的值：至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)b，使函數(shù)f（x）的定義域和值域相同．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f(ex)=

-e2x+4ex

，結(jié)合函數(shù)解析式可得-e^2x+4e^x≥0，解不等式可求函數(shù)的定義域
利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域
（2）結(jié)合函數(shù)解析式的特點(diǎn)，考慮對(duì)a分類(lèi)討論：對(duì)①a=0，②a＞0，③a＜0三種情況分別求解函數(shù)的值域，即可進(jìn)行判斷

解答：（14分）解：（1）f(ex)=

-e2x+4ex

，
由-e^2x+4e^x≥0解得0＜e^x≤4，∴x≤ln4，
所以函數(shù)f（e^x）的定義域是（-∞，ln4]．…（2分）
設(shè)e^x=t＞0，則f(ex)=

-t2+4t

，
記g（t）=-t²+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（e^x）∈[0，2]，即f（e^x）的值域是[0，2]…（4分）
（2）①若a=0，則對(duì)于每個(gè)正數(shù)b，f(x)=

bx

的定義域和值域都是[0，+∞）
故a=0滿足條件；             …（6分）
②若a＞0，則對(duì)于正數(shù)b，f(x)=

ax2+bx

的定義域?yàn)镈={x|ax²+bx≥0}=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），
故D≠A，即a＞0不合條件；           …（9分）
③若a＜0，則對(duì)正數(shù)b，f(x)=

ax2+bx

的定義域D=[0，-

b

a

]
由于此時(shí)(f(x))max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，故f（x）的值域?yàn)?span id="4th7rfp" class="MathJye">[0，

b

2 -a

]
則-

b

a

=

b

2 -a

?

a＜0 2 -a =-a

?a=-4
綜上所述：a的值為0或-4…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了換元法求解函數(shù)的值域，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，值域的求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用