【題目】對于無窮數(shù)列,,若-…,則稱是的“收縮數(shù)列”.其中,,分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知為無窮數(shù)列,其前項(xiàng)和為,數(shù)列是的“收縮數(shù)列”.
(1)若,求的前項(xiàng)和;
(2)證明:的“收縮數(shù)列”仍是;
(3)若,求所有滿足該條件的.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)所有滿足該條件的數(shù)列為
【解析】
(1)由可得為遞增數(shù)列,,,從而易得;
(2)利用,
,可證是不減數(shù)列(即),而,由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.
(3)首先,由已知,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),(*),這里分析與的大小關(guān)系,,均出現(xiàn)矛盾,,結(jié)合(*)式可得,因此猜想(),用反證法證明此結(jié)論成立,證明時(shí)假設(shè)是首次不符合的項(xiàng),則,這樣題設(shè)條件變?yōu)?/span>(*),仿照討論的情況討論,可證明.
解:(1)由可得為遞增數(shù)列,
所以,
故的前項(xiàng)和為.
(2)因?yàn)?/span>,
,
所以
所以.
又因?yàn)?/span>,所以,
所以的“收縮數(shù)列”仍是.
(3)由可得
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,即,所以;
當(dāng)時(shí),,即(*),
若,則,所以由(*)可得,與矛盾;
若,則,所以由(*)可得,
所以與同號,這與矛盾;
若,則,由(*)可得.
猜想:滿足的數(shù)列是:
.
經(jīng)驗(yàn)證,左式,
右式.
下面證明其它數(shù)列都不滿足(3)的題設(shè)條件.
法1:由上述時(shí)的情況可知,時(shí),是成立的.
假設(shè)是首次不符合的項(xiàng),則,
由題設(shè)條件可得(*),
若,則由(*)式化簡可得與矛盾;
若,則,所以由(*)可得
所以與同號,這與矛盾;
所以,則,所以由(*)化簡可得.
這與假設(shè)矛盾.
所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設(shè)條件.
法2:當(dāng)時(shí),,
所以
即
由可得
又,所以可得,
所以,
即
所以等號成立的條件是
,
所以,所有滿足該條件的數(shù)列為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上的函數(shù),如果存在常數(shù),對區(qū)間的任意劃分:,和式恒成立,則稱為上的“絕對差有界函數(shù)”。注:。
(1)證明函數(shù)在上是“絕對差有界函數(shù)”。
(2)證明函數(shù)不是上的“絕對差有界函數(shù)”。
(3)記集合存在常數(shù),對任意的,有成立,證明集合中的任意函數(shù)為“絕對差有界函數(shù)”,并判斷是否在集合中,如果在,請證明并求的最小值;如果不在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某甲籃球隊(duì)的12名隊(duì)員(含2名外援)中有5名主力隊(duì)員(含一名外援),主教練要從12名隊(duì)員中選5人首發(fā)上場,則主力隊(duì)員不少于4人,且有一名外援上場的概率是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)和函數(shù),
(1)若為偶函數(shù),試判斷的奇偶性;
(2)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,則
①試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有單調(diào)性,并說明理由;
②若方程的兩實(shí)根為求使成立的的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一條景觀道的一端有一個(gè)半徑為米的圓形摩天輪O,逆時(shí)針分鐘轉(zhuǎn)一圈,從處進(jìn)入摩天輪的座艙,垂直于地面,在距離處米處設(shè)置了一個(gè)望遠(yuǎn)鏡.
(1)同學(xué)甲打算獨(dú)自乘坐摩天輪,但是其母親不放心,于是約定在登上摩天輪座艙分鐘后,在座艙內(nèi)向其母親揮手致意,而其母親則在望遠(yuǎn)鏡中仔細(xì)觀看.問望遠(yuǎn)鏡的仰角應(yīng)調(diào)整為多少度?(精確到1度)
(2)在同學(xué)甲向其母親揮手致意的同時(shí),同一座艙的另一名乘客乙在拍攝地面上的一條綠化帶,發(fā)現(xiàn)取景的視角恰為,求綠化帶的長度(精確到1米)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,求實(shí)數(shù)與的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第七屆世界軍人運(yùn)動會于2019年10月18日至2019年10月27日在中國武漢舉行,第七屆世界軍人運(yùn)動會是我國第一次承辦的綜合性國際軍事體育賽事,也是繼北京奧運(yùn)會之后我國舉辦的規(guī)模最大的國際體育盛會.來自109個(gè)國家的9300余名軍體健兒在江城武漢同場競技、增進(jìn)友誼.運(yùn)動會共設(shè)置射擊、游泳、田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)、329個(gè)小項(xiàng).經(jīng)過激烈角逐,獎牌榜的前6名如下:
某大學(xué)德語系同學(xué)利用分層抽樣的方式從德國獲獎選手中抽取了9名獲獎代表.
(1)請問這9名獲獎代表中獲金牌、銀牌、銅牌的人數(shù)分別是多少人?
(2)從這9人中隨機(jī)抽取3人,記這3人中銀牌選手的人數(shù)為,求的分布列和期望;
(3)從這9人中隨機(jī)抽取3人,求已知這3人中有獲金牌運(yùn)動員的前提下,這3人中恰好有1人為獲銅牌運(yùn)動員的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分別為,AC,,的中點(diǎn),AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市在爭創(chuàng)文明城市過程中,為調(diào)查市民對文明出行機(jī)動車禮讓行人的態(tài)度,選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
支持 | 不支持 | 合計(jì) | |
年齡不大于45歲 | 80 | ||
年齡大于45歲 | 10 | ||
合計(jì) | 70 | 100 |
(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年齡段與是否支持文明出行機(jī)動車禮讓行人有關(guān)?
(3)已知在被調(diào)查的年齡小于25歲的支持者有5人,其中2人是教師,現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取3人,求至多抽到1位教師的概率.
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