Question

13．已知函數f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．
（2）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的單調區(qū)間及極值．

Answer 1

分析 （1）對函數f（x）=x³-ax²-3x進行求導，轉化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出參數a的取值范圍．
（2）先求導，再根據f′（3）=0，求得a=5，再根據導數求出函數極值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
則必有$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0；
實數a的取值范圍是（-∞，0]．
（2）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由題意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3）
令 f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜3，
故f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）遞增，在（$\frac{1}{3}$，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{13}{27}$，f（x）_極小值=f（3）=-9．

點評 本題考查函數與導函數的關系，函數的單調性與導數的關系，通過函數的導數求解函數極值，考查轉化思想與計算能力．