Question

（本小題滿分12分）已知圓以為圓心且經(jīng)過原點O．

(1) 若直線與圓交于點，若，求圓的方程；

(2) 在(1)的條件下，已知點的坐標(biāo)為，設(shè)分別是直線和圓上的動點，求的最小值及此時點的坐標(biāo)。

 

Answer 1

【答案】

（1）圓方程為 ．(2) ．

【解析】

試題分析：（I）利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的方程，根據(jù)線段的中垂線的性質(zhì)判斷出C，H，O三點共線，利用兩點連線的斜率公式求出直線OC的斜率，列出關(guān)于t的方程，求出t的值．通過圓心到直線的距離與圓半徑的大小的比較，判斷出直線與圓的關(guān)系是否相交．

（II）求出點B關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點，將已知問題轉(zhuǎn)化為對稱點到圓上的最小值問題，根據(jù)圓的幾何條件，圓外的點到圓上的點的最小值等于該點到圓心的距離減去半徑．

考點：本題主要是考查直線與圓的位置關(guān)系的運用。

解：由題知，圓方程為，

化簡得                           …1分

（1），則原點在的中垂線上，設(shè)的中點為，則．三點共線，則直線的斜率或，則圓心或，          …4分

所以圓方程為或，           …5分

由于當(dāng)圓方程為時，直線到圓心的距離，不滿足直線和圓相交，故舍去．

圓方程為 ．                              …6分

(2)點關(guān)于直線的對稱點為，            …7分

則，又到圓上點的最短距離為，

所以的最小值為，                                 …10分

直線的方程為，則直線與直線的

交點的坐標(biāo)為．                …12分

點評：解決該試題的關(guān)鍵是求圓的方程一般利用的方法是待定系數(shù)法；解決直線與圓的有關(guān)的問題常利用圓的一些幾何意義：常需要解圓心距、弦長的一半、圓的半徑構(gòu)成的直角三角形；圓外的點到圓上的最值常求出點到圓心的距離加上或減去圓的半徑