Question

湛江為建設(shè)國家衛(wèi)生城市，現(xiàn)計劃在相距20 km的赤坎區(qū)（記為A）霞山區(qū)（記為B）兩城區(qū)外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對市區(qū)的影響度與所選地 
點到市區(qū)的距離有關(guān)，對赤坎區(qū)和霞山區(qū)的總影響度為兩市區(qū)的影響度之和，記C點到赤坎區(qū)的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對兩市區(qū)的總影響度為y.統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對赤坎區(qū)的影響度與所選地點到赤坎區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對霞山區(qū)的影響度與所選地點到霞山區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k.當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時，對兩市區(qū)的總影響度為0.065.
(1)將y表示成x的函數(shù)；
(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到赤坎區(qū)的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）根據(jù)條件中描述：垃圾處理廠對赤坎區(qū)的影響度與所選地點到赤坎區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對霞山區(qū)的影響度與所選地點到霞山區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，而y表示建在C處的垃圾處理廠對兩市區(qū)的總影響度為y，因此可設(shè)，根據(jù)題意當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時，對兩市區(qū)的總影響度為0.065可求得k的值；（2）由(1)，，可求得，進(jìn)而可以得到y(tǒng)的在(0,20)上的單調(diào)性，從而求得y的最小值.
(1)如圖，由題意知AC⊥BC，AC＝x km，則，
      2分

由題意知，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065，即當(dāng)時，y＝0.065，代入得k＝9.所以y表示成x的函數(shù)為．        6分；
（2）由于，∴        8分
令得或(舍去)，    9分
當(dāng)時，，即，此時函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，，即，此時函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)         12分
所以當(dāng)時，即當(dāng)C點到赤坎區(qū)的距離為時，函數(shù)有最小值    14分.