已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，
線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅲ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍.
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）利用離心率和直線與圓相切得到兩個(gè)等量關(guān)系，確定橢圓方程；（Ⅱ）利用定義法求解曲線方程；（Ⅲ）采用坐標(biāo)法，將向量問題坐標(biāo)化，進(jìn)行有效的整理為，然后借助均值不等式進(jìn)行求解范圍.
試題解析：（Ⅰ）∵  
∵直線相切，
∴  ∴       3分
∵橢圓的方程是          6分
（Ⅱ）∵，
∴動(dòng)點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線       6分
∴點(diǎn)的軌跡的方程為     9分
（Ⅲ），設(shè)、 
∴ 
∵，∴
∵，化簡得         11分
∴
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立      13分
∵，又
∴當(dāng)即時(shí)，，故的取值范圍是  14分
練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓 上任意一點(diǎn)，且的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）動(dòng)圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且,點(diǎn)在橢圓上,且的周長為6.
(I)求橢圓的方程;
(II)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)到直線的距離為,且三點(diǎn)共線.求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的離心率為，則k的值為（    ）
A．－21B．21C．或21D．或21

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

為橢圓上一點(diǎn)，為兩焦點(diǎn)，，則橢圓的離心率        .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求弦的長度.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于于兩點(diǎn)，令，則。

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