Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線y=x²的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若A、B是橢圓C上關x軸對稱的任意兩點，設P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設O為坐標原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求•的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出題意方程，利用離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線y=x²的焦點，建立方程組，即可求橢圓C的標準方程；
（II）設出直線PA方程，代入橢圓方程，設出直線BE方程，利用韋達定理，令y=0，即可證得結論；
（III）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及向量的數量積公式，即可求•的取值范圍．
解答：（I）解：設橢圓C的標準方程為（a＞b＞0），拋物線方程可化為，其焦點為（0，）
由題意，可得，∴
∴橢圓C的標準方程為；
（II）證明：由題意可知直線PA的斜率存在，設直線PA的方程為y=k（x+4）
代入橢圓方程可得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0①
設A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則B（x₁，-y₁），
直線BE的方程為
令y=0，可得
將y₁=k（x₁+4），y₂=k（x₂+4）代入上式，整理可得②
由①得x₁+x₂=-，
代入②整理可得x=-1
∴直線BE與x軸相交于定點M（-1，0）；
（III）解：當過點M的直線ST的斜率存在時，設直線ST的方程為y=m（x+1），且設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在橢圓C上，
直線代入橢圓方程，可得（4m²+3）+8m²x+4m²-12=0
△=144（m²+1）＞0，x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁y₂=m²（x₁+1）（x₂+1）=-
∴==--
∵m²≥0，∴∈[-4，-）
當過點M的直線ST的斜率不存在時，直線ST的方程為x=-1，S（-1，），T（-1，-）
∴=-
綜上所述，•的取值范圍為[-4，-]．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線恒過定點，考查向量的數量積公式，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．