Question

設(shè)p＞0是一常數(shù)，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y²=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心），試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程。

Answer 1

解：由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：
又設(shè)，則其坐標滿足
消去x得
由此得，
因此，即
故O必在圓H的圓周上
又由題意圓心H（）是AB的中點，故

由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且
 
從而當(dāng)k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小
此時，直線AB的方程為：x=2p。