已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當x∈（1，2]時f（x）=2-x給出結論如下：
①任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．
其中所有正確結論的序號是
 
分析：依據(jù)題中條件注意研究每個選項的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個條件得到①正確；
連續(xù)利用題中第（2）個條件得到②正確；
利用反證法及2x變化如下：2，4，8，16，32，判斷③命題錯誤；
據(jù)①②③的正確性可得④是正確的．
解答：解：①f（2m）=f（2•2m-1）=2f（2m-1）=…=2m-1f（2），正確；
②取x∈（2m，2m+1），則
x
2m
∈（1，2]；f（
x
2m
）=2-
x
2m
，從而
f（x）=2f（
x
2
）=…=2mf（
x
2m
）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…
從而f（x）∈[0，+∞），正確；
③f（2n+1）=2n+1-2n-1，假設存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，2x1-2x2=10，又，2x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在，所以該命題錯誤；
④根據(jù)前面的分析容易知道該選項正確；
綜合有正確的序號是①②④．
點評：本題通過抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學生的綜合分析能力，難度不大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(
1a
)的值；
（Ⅱ）若關于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個根，求實數(shù)k的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．給出如下結論：
①對任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正確結論的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）函數(shù)f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2．函數(shù)g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-
1
2
]上的值域是
[2，
5
2
]
[2，
5
2
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，則方程f(x)=2+
x
的解的個數(shù)是
0
0
．

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