Question

（2012•武清區(qū)一模）己知函數(shù)f(x)=-lnx-

a

x

，a∈R．
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導函數(shù)，從而可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（1）求導函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)可得f′(x)=-

1

x

+

a

x2

=

-x+a

x2

當a＞0時，令f′（x）＞0，可得0＜x＜a；令f′（x）＜0，可得x＞a；
∴函數(shù)在（0，a）上單調(diào)增，在（a，+∞）上單調(diào)減；
（2）求導函數(shù)可得f′(x)=-

1

x

+

a

x2

=

-x+a

x2

由（1）知，當a＞0時，函數(shù)在（0，a）上單調(diào)增，在（a，+∞）上單調(diào)減，
故a＞e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)減，∴x=1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為-a；
0＜a≤e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)增，∴x=e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為-1-

a

e

；
當a＜0時，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)減，∴x=1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為-a；
綜上知，a＞e或a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為-a；0＜a≤e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為-1-

a

e

．

點評：本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值．