Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(

x2+y2

)成立，f（1）=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（-1）的值，并判斷y=f（x）的奇偶性；
（2）證明：y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增；
（3）若關(guān)于x的方程2f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)在（2，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)恒等式，賦值x=y=0，即可求得f（0），再賦值x=-1，y=0，即可求得f（-1），再賦值y=0，即可判斷出函數(shù)的奇偶性；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，對(duì)恒等式賦值，構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁），利用已知條件和函數(shù)單調(diào)性的定義即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用恒等式，將方程轉(zhuǎn)化為f(

2x2

)=f(

a(x-1)

x+1

)，再根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，則有|

2

x|=|

a(x-1)

x+1

|在（2，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，參變量分離后變?yōu)?span id="b5vp9tr" class="MathJye">|a|=

2 x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，在利用換元法和數(shù)形結(jié)合法，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的值域問題，結(jié)合圖象即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵對(duì)任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(

x2+y2

)成立，
∴令x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0，
令x=-1，y=0，則f（-1）+f（0）=f（1），即f（-1）=f（1）=1，
令y=0，則f（x）=f（|x|），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，
令x=x₁，y=

x22-x12

，
∴f（x₁）+f（

x22-x12

）=f（

x12+( x22-x12 )2

）=f（x₂），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f(x2)-f(x1)=f(

x 2 2 - x 2 1

)＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）由2f(x)=f(

a(x-1)

x+1

)，可得f(

2x2

)=f(

a(x-1)

x+1

)，
∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴|

2

x|=|

a(x-1)

x+1

|在（2，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴|a|=

2 x(x+1)

x-1

在（2，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
令x-1=t，則t∈（1，+∞），
∴問題轉(zhuǎn)化為|a|=

2 (t+1)(t+2)

t

在（1，+∞）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
作出函數(shù)g(t)=

2 (t+1)(t+2)

t

=

2

(t+

2

t

+3)在（1，+∞）上的圖象，如右圖所示，
根據(jù)圖象可得，|a|∈(4+3

2

，6

2

)，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-6

2

，-4-3

2

）∪（4+3

2

，6

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的零點(diǎn)．奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號(hào)，下結(jié)論．函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于對(duì)應(yīng)方程的根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．