Question

4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).
（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？
（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？
（3）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？

Answer 1

(1) 144(2)144 (3)84

（1）為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另 外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步計(jì)數(shù)原理，共有CCC×A=144種.
（2）“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.
（3）確定2個(gè)空盒有C種方法.
4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有·A種方法.
故共有C( CCA+·A）=84種.