如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.

【答案】分析:(Ⅰ)取BC中點(diǎn)O,連接AO,取B1C1中點(diǎn)O1,以0為原點(diǎn),OB,OO1 ,OA 的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量,,驗(yàn)證=0,,即可證明AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求出平面A1BD的法向量為,平面A1AD的法向量為,再利用向量的夾角公式,即可求得二面角A-A1D-B的正弦值.
解答:解:取BC中點(diǎn)O,連接AO.
∵△ABC為正三角形,∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1
∴AO⊥平面BCC1B1,
取B1C1中點(diǎn)O1,以0為原點(diǎn),OB,OO1 ,OA 的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3 ),A(0,0,3 ),B1(1,2,0),
(Ⅰ),,
=-1+4-3=0,
∴AB1⊥BD,AB1 ⊥BA1 ,
∴AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)平面A1BD的法向量為
設(shè)平面A1AD的法向量為=(x,y,z),∴,∴
令z=1、y=0、x=-,則
∴cos
設(shè)二面角A-A1D-B的平面角為θ,即

即二面角A-A1D-B的正弦值為
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的判定,二面角的求法,考查空間想象能力,邏輯思維能力,計(jì)算能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長(zhǎng)都等于a,E是BB1的中點(diǎn).
(1)求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值;
(2)求證:平面AEC1⊥平面ACC1A1
(3)求點(diǎn)C1到平面AEC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)是( �。�
A、2
B、
3
C、
5
D、
7
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.

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(2013•鄭州二模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)OD∥平面ABC時(shí),求
AOOB1
的值.

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精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中(注:底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直),BC=CC1=2,P,Q分別為BB1,CC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求多面體ABC-A1PC1的體積;
(Ⅱ)求A1Q與BC1所成角的大�。�

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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