Question

【題目】如圖所示，假設(shè)在某個(gè)廣場(chǎng)的某個(gè)燈柱上靠著一個(gè)醉鬼，他在燈柱周圍隨便走動(dòng)，先朝一個(gè)方向走上幾步，然后換個(gè)方向再邁上幾步，如此這般，每走幾步就隨意折個(gè)方向。那么，他在這樣彎彎折折地走了一段路程，比如折了100次以后，他離燈柱有多遠(yuǎn)呢？

Answer 1

【答案】10m

【解析】

我們用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題。

以廣場(chǎng)上的燈柱為原點(diǎn)Ο建立坐標(biāo)系，假設(shè)x軸指向南方，y軸指向東方，R表示醉鬼走過(guò)n個(gè)轉(zhuǎn)折后（圖中n為10）與燈柱的距離，實(shí)際上，醉鬼也不是按直線走路的，該圖不是醉鬼實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡，若用和分別表示醉鬼所走路徑的第n個(gè)分段在相應(yīng)兩軸上的投影 這里的x和y既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)，視這位醉鬼在各段具體路程中是離開還是接近燈柱而定，既然他的運(yùn)動(dòng)是完全無(wú)序的，因此在x和y的取值中，正數(shù)和負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該差不多。將上式第一項(xiàng)展開，有

②

這一長(zhǎng)串?dāng)?shù)字包括了x的所有平方項(xiàng)和x的“混合積”，由于醉鬼走路是無(wú)規(guī)則的，他朝燈柱走和背著燈柱走的可能性相等，因此在x的各個(gè)取值中，正負(fù)會(huì)各占一半，這樣，在那些“混合積”里，總是可以找出數(shù)值相等、符號(hào)相反的一對(duì)對(duì)可以互相抵消的數(shù)來(lái)，n的數(shù)目越大，這種抵消就越徹底。而平方項(xiàng)是正數(shù)，這樣①式中的第1項(xiàng)就變成

。

X表示各段路程在x軸上投影長(zhǎng)度的平均值（嚴(yán)格地說(shuō)是方均根值）。同理，①式中第2項(xiàng)也能轉(zhuǎn)化成，Y是各段路程在y軸上投影長(zhǎng)度的平均值。這里利用了統(tǒng)計(jì)規(guī)律，考慮了由于運(yùn)動(dòng)的任意性所產(chǎn)生的可抵消的“混合積”。因此得到醉鬼離開燈柱的距離為

，即。

各路程的平均投影在兩軸上是45°,所以就等于平均路程長(zhǎng)度，用L來(lái)表示這個(gè)平均路程長(zhǎng)度，可得。

即醉鬼在走了許多段不規(guī)則的彎路后，離燈柱的最可能距離為各段路程的平均長(zhǎng)度乘以路徑段數(shù)的平方根。因此，如果這個(gè)醉鬼每走lm就拐一個(gè)彎，那么在走了100m的長(zhǎng)路后，他距燈柱的距離約為10m。