Question

【題目】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑水平桌面上，在球頂有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止開始沿球面下滑。試求：

（1）質(zhì)點(diǎn)離開球面以前的軌跡；

（2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m滑到方位角時(shí)（未脫離半球），質(zhì)點(diǎn)的速度v的大小、方向怎樣？質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球的瞬時(shí)角速度為多少？

Answer 1

【答案】（1）質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)、短半軸分別為R和的橢圓。（2），，，。

【解析】

（1）為尋求軌跡方程，我們需要建立一個(gè)坐標(biāo)：以半球球心O為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)滑下一側(cè)的水平軸為x坐標(biāo)、豎直軸為y坐標(biāo)。

由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球總是做圓周運(yùn)動(dòng)（離開球面前），有必要引入相對(duì)運(yùn)動(dòng)中半球球心的方位角來(lái)表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置，如圖乙所示。

由水平方向的動(dòng)量守恒，易得

,

即。 ①

而由圖知：。 ②

不難看出，①、②兩式實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)軌跡的參數(shù)方程。為了明確軌跡的性質(zhì)，我們可以將參數(shù)消掉，使它們成為

。

這樣，特征就明顯了：質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)、短半軸分別為R和的橢圓。

（2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)滑至角位置時(shí)，設(shè)M的速度大小為v，質(zhì)點(diǎn)m的水平速度與豎直速度分別為、，則，

。

又，角速度，

設(shè)，有，。

由上述各式可得

，式中。