Question

【題目】長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，一端放在水平地面上，同時(shí)斜擱在半徑為的勻質(zhì)圓柱上，如圖所示，三個(gè)接觸處的摩擦因數(shù)均為.證明：

（1）如果，則平衡時(shí)桿與地面間的最大傾角.

（2）如果，則當(dāng)平衡時(shí)，最大傾角由下列方程確定：.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

(i)由圓柱體的平衡條件可知,兩處的摩擦力總是一樣大的,如果要在兩處產(chǎn)生滑動(dòng),則一定是處先滑動(dòng);(i)由平衡時(shí)三力共點(diǎn)的條件可知,桿對(duì)圓柱體在點(diǎn)的作用力(約束反力)一定過點(diǎn)。

由此可知,圓柱體對(duì)桿的作用力方向總是沿方向的,不論其是否處于臨界狀態(tài)。

我們首先討論桿的平衡條件:

由于桿與外界有兩處接觸,哪一處先達(dá)到臨界狀態(tài)都是有可能的,因此,在一系列的可能狀態(tài)中,我們挑選一特定狀態(tài),即同時(shí)達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí),桿長(zhǎng)與圓柱半徑應(yīng)滿足的關(guān)系,此刻的用表示.

由圖乙中幾何關(guān)系易知,桿的上端應(yīng)在過點(diǎn)的豎直線上,則

，

其中,

且.

所以，.

(1)時(shí),討論其平衡。

當(dāng)時(shí),桿的質(zhì)心將沿桿下移,圖乙中點(diǎn)上移到點(diǎn)(點(diǎn)仍保持臨界),此時(shí)點(diǎn)受力通過點(diǎn),系統(tǒng)才能保持平衡,點(diǎn)處的作用力方向變?yōu)?/span>方向,與法向的交角小于.在這種情況下,即處處于臨界,處未達(dá)到臨界,這種情況仍然屬于系統(tǒng)(桿)處于臨界狀態(tài),而桿與地面的交角仍然是桿達(dá)到臨界平衡時(shí)的最大交角.

顯然,在這種情況下,還有一幾何約束,即不能小于,即不能小于,否則桿就不能擱在圓柱上了.考慮到,所以,條件統(tǒng)一表示為

，或.

在此情況下,桿與地面間的夾角滿足

，即.

(2)時(shí),討論其平衡。

在不變的情況下,當(dāng)時(shí),點(diǎn)將沿桿上移,此時(shí)通過點(diǎn)的豎直線與圓柱對(duì)桿的作用方向上的直線交于,在點(diǎn)之下.如果系統(tǒng)還要達(dá)到平衡,三力必須交于,但是,此時(shí)與豎直方向交角已經(jīng)大于,桿不能達(dá)到平衡.

如圖丙所示,為了達(dá)到平衡,在處,作用在圓柱上的力與法向交角不能是,而應(yīng)該變小,直到平衡時(shí),點(diǎn)處桿的受力方向與豎直線方向達(dá),才使桿達(dá)到新的平衡。

下面求滿足的方程.

.

由于，

最后來求.

由圖丙可知，

所以,，

所以， ，

即.

本題是一道多點(diǎn)摩擦、臨界分析、幾何約束交織在一起的難題。

由于平衡問題的研究是學(xué)習(xí)物理的開端,很多人錯(cuò)誤地認(rèn)為平衡問題是物理中的簡(jiǎn)單問題,其實(shí)不然,以競(jìng)賽試題為例,一旦出現(xiàn)平衡問題,不論是復(fù)賽還是決賽,往往就是當(dāng)年的難題,究其原因,平衡問題往往涉及多個(gè)對(duì)象,復(fù)雜的結(jié)構(gòu)模型,多接觸點(diǎn)的受力分析,隱晦的臨界狀態(tài),不確定的可能狀態(tài),繁雜的幾何關(guān)系,大量的運(yùn)算等等,且不說上述各種情況同時(shí)出現(xiàn),哪怕只有兩三種出現(xiàn)在同一道試題中(如本題),答題者如不具備扎實(shí)的基礎(chǔ),熟練地運(yùn)用知識(shí)的能力,過硬的心理素質(zhì),較強(qiáng)的定力,要想順利完成解答,則無異于異想天開。