Question

【題目】如圖所示為一個(gè)立方體ABCDEFGH，每邊都用導(dǎo)體接入一個(gè)電阻值為r的電阻．試計(jì)算下列情況下各總電阻．

（1）A、G點(diǎn)間的等效電阻．

（2）A、D點(diǎn)間的等效電阻．

（3）如果B與F、C與G和D與H之間被短路時(shí)，A、G兩點(diǎn)間的等效電阻．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

解析1 這類網(wǎng)絡(luò)固然復(fù)雜，但是只要利用其對(duì)稱性，求解并不困難．

從等電勢(shì)角度分析簡(jiǎn)化電路．

（1）由于對(duì)稱性，設(shè)端點(diǎn)A流入電流I，分流后最后在G點(diǎn)匯合流出，B、D、E三點(diǎn)為等勢(shì)點(diǎn)，故可用導(dǎo)線連接而不會(huì)改變線路的電流．對(duì)C、H、F三點(diǎn)來(lái)說(shuō)，情況也是這樣，故可得等效電路如圖所示．

圖中各電阻的阻值均為r，所以A、G間的總電阻為

（2）設(shè)想電流從A流入、D流出，由于對(duì)稱性，可知B和E等勢(shì)，C和H等勢(shì)．若用導(dǎo)線將B和E及C和H連接，對(duì)電路不會(huì)產(chǎn)生任何影響，這時(shí)的等效電路如圖所示．

由此可見(jiàn)

，

故，又

，

故．

（3）若BF、CG、DH被短路，則B與F、C與G、D與H等電勢(shì)．由于B點(diǎn)與D點(diǎn)具有軸對(duì)稱，故B、D也等勢(shì)（即B、F、D、H四點(diǎn)等勢(shì)），則A與G之間的等效電路，如圖所示．

由圖可知

，

．

又，故

．

方法2從電流分流角度分析電路．

（1）由于對(duì)稱性，立方體在A點(diǎn)的三邊AB、AD、AE以及在G點(diǎn)的三邊CG、FG、HG有相等的電流．

從對(duì)稱性同樣可得在BC與BF、EF與EH、DH與EH中也有相等的電流．設(shè)電流I從A點(diǎn)流入，G點(diǎn)流出，立方體各邊的電流如圖所示．

根據(jù)歐姆定律，A、G兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為

．

因從A端流入（或G端流出）的電流強(qiáng)度為I，故等效電阻

（2）由于對(duì)稱性，AB、AE、CD和HD都有相同電流，設(shè)為i，又設(shè)AD中的電流為j，則在B、E、H和C各點(diǎn)都將電流i再分成和，流經(jīng)FG的電流則為2i．立方體各邊的電流如圖所示．

根據(jù)歐姆定律，A、D兩點(diǎn)間的電勢(shì)差

．

而，，

，，故

． ①

同樣從可得

②

從①式和②式可解得

． ③

將③式代入②式可得．

即,等效電阻

（3）在B與F、C與G、D與H之間短路后，由對(duì)稱性知，AB和AD中流過(guò)的電流應(yīng)相同（設(shè)為i），EH和EF中流過(guò)的電流也應(yīng)相等（設(shè)為），并根據(jù)在每一節(jié)點(diǎn)上流進(jìn)的總電流等于流出的總電流的原則，把經(jīng)短路后的電路簡(jiǎn)化為如圖所示的電路．

在圖上標(biāo)出每一支路及從A、G端流進(jìn)或流出的電流的數(shù)值，根據(jù)歐姆定律，可得以下關(guān)系

．

而，，，

代入上式可得，

又，

，，

故，等效電阻

．

本題解析中采用的等勢(shì)法和分流法都是電路分析中常用的方法，應(yīng)熟練掌握．