Question

【題目】形狀適宜的金屬絲衣架能在如圖甲所示的平面里的幾個平衡位置附近做小振幅擺動．在位置1和位置2里，長邊是水平的．其他兩邊等長．三種情況下的振動周期都相等．試問：衣架的質(zhì)心位于何處？擺動周期是多少？

Answer 1

【答案】質(zhì)心位于AB之中點．衣架的振動周期.

【解析】

本題所述的擺是復(fù)擺，我們先來推導(dǎo)復(fù)擺的周期公式．如圖乙所示，設(shè)O為轉(zhuǎn)軸（懸點），C為質(zhì)心，與轉(zhuǎn)軸距離（復(fù)擺擺長）為l，質(zhì)量為m，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，最大偏角．由機械能守恒定

律，可得

①

是剛體的質(zhì)心通過平衡位置時的角速度。對擺長l、質(zhì)量m的理想單擺而言，有

． ②

②式中是擺球（質(zhì)點）通過平衡位置時的角速度，A是振幅，是擺球振動的圓頻率。若將

①式變形為，比較②式，即對復(fù)擺與單擺作等效變換，可得復(fù)擺小幅振動（亦為諧振）的圓頻率

那么復(fù)擺的周期公式為．

由題設(shè)條件確定衣架的質(zhì)心位置及轉(zhuǎn)動慣量，依據(jù)復(fù)擺周期公式，即可確定三種情況下相同的擺動周期T．如圖丙所示，質(zhì)心O到轉(zhuǎn)軸A、B、C的距離設(shè)為a、b、c，由圖甲1所示的情況下衣架的平衡位置可知O必在衣架長邊的中垂線AB上，在三種情況下衣架對轉(zhuǎn)軸A、B、C的轉(zhuǎn)動慣量依次為，，．式中為所設(shè)衣架對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，m是衣架總質(zhì)量．因為三種情況下的周期相同，故有

，即．

顯然，則可知．

又有，

即．

此式中因，，必有，即質(zhì)心位于AB之中點．衣架的振動周期

根據(jù)圖甲中的標注數(shù)字可知，，代入后得．