Question

【題目】—根不可伸長(zhǎng)的細(xì)輕繩，穿上一粒質(zhì)量為m的珠子（視為質(zhì)點(diǎn)），繩的下端固定在A點(diǎn)，上端系在輕質(zhì)小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細(xì)桿滑動(dòng)（小環(huán)的質(zhì)量及與細(xì)桿摩擦皆可忽略不計(jì)）。細(xì)桿與A在同一豎直平面內(nèi)。開(kāi)始時(shí)，珠子緊靠小環(huán)，繩被拉直，如圖所示。已知：繩長(zhǎng)為L，A點(diǎn)到桿的距離為h，繩能承受的最大張力為，珠子下滑過(guò)程中到達(dá)最低點(diǎn)前繩子被拉斷。求細(xì)繩被拉直時(shí)珠子的位置和速度的大小（珠子與繩子之間無(wú)摩擦）。

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）珠子運(yùn)動(dòng)的軌跡

建立如圖丙所示的坐標(biāo)系，原點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)的豎直線與細(xì)桿相交處，軸沿細(xì)桿向右，軸沿向下. 當(dāng)珠子運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)且繩子未斷時(shí)，小環(huán)在處，垂直于軸，所以珠子的坐標(biāo)為

，.

由知，即有，得

. ①

這是一個(gè)以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)位于處，焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離為的拋物線，如圖丙所示，圖中的，為焦點(diǎn).

（2）珠子在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

因?yàn)楹雎岳K子的質(zhì)量，所以可把與珠子接觸的那一小段繩子看作是珠子的一部分，則珠子受的力有三個(gè)，一是重力；另外兩個(gè)是兩繩子對(duì)珠子的拉力，它們分別沿和方向，這兩個(gè)拉力大小相等，皆用表示，則它們的舍力的大小為

， ②

為點(diǎn)兩邊繩子之間夾角的一半，沿的角平分線方向.

因?yàn)?/span>是焦點(diǎn)至的連線，平行于軸，根據(jù)解析幾何所述的拋物線性質(zhì)可知，點(diǎn)的法線是的角平分線. 故合力的方向與點(diǎn)的法線一致.

由以上的論證，再根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和題中的注，珠子在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（沿法線方向）應(yīng)為

，

即.③

式中是點(diǎn)處軌道曲線的曲率半徑；為珠子在處時(shí)速度的大小. 根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得

.④

（3）.求曲率半徑

當(dāng)繩子斷裂時(shí)，，由③式可見(jiàn)，如果我們能另想其他辦法求得曲率半徑與的關(guān)系，則就可能由③④兩式求得繩子斷裂時(shí)珠子的縱坐標(biāo). 現(xiàn)提出如下一種辦法．做一條與小珠軌跡對(duì)于軸呈對(duì)稱狀態(tài)的拋物線，如圖丁所示. 由此很容易想到這是一個(gè)從高處平拋物體的軌跡. 平拋運(yùn)動(dòng)是我們熟悉的，我們不僅知道其軌跡是拋物線，而且知道其受力情況及詳細(xì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，這樣我們可不必通過(guò)軌道方程而是運(yùn)用力學(xué)原理分析其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即可求出與對(duì)稱的點(diǎn)處拋物線的曲率半徑與的關(guān)系，也就是處拋物線的曲率半徑與的關(guān)系.

設(shè)從拋出至落地的時(shí)間為，則有.

由此解得

.⑤

設(shè)物體在處的速度為，由機(jī)械能守恒定律可得

.⑥

物體在處法線方向的運(yùn)動(dòng)方程為

⑦

式中即為處拋物線的曲率半徑，從⑤⑥⑦式及，可求得.

這也等于點(diǎn)拋物線的曲率半徑，，故得

⑧

4.求繩被拉斷時(shí)小珠的位置和速度的大小

把④⑧式代入③式，可求得繩子的張力為

.⑨

當(dāng)時(shí)，繩子被拉斷，設(shè)此時(shí)珠子位置的坐標(biāo)為，由⑨式得.

代入①式，得.

繩子斷開(kāi)時(shí)，珠子速度的大小為.