Question

【題目】如圖甲所示，有一木板可繞其下端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸位于一豎直墻面上。開始時(shí)木板與墻面的夾角為，在夾角中放一正圓柱形木棍，截面半徑為。在木板外側(cè)加一力使其保持平衡，在木棍端面上畫一豎直向上的箭頭。已知木棍與墻面之間、木棍與木板之間的靜摩擦系數(shù)分別為，。若極緩慢地減小所加的力，使角慢慢張開，木棍下落。問：當(dāng)夾角張到時(shí)，木棍端面上的箭頭指向什么方向？

附三角函數(shù)表：

	0.131	0.259	0.500	0.866
	0.991	0.966	0.866	0.500

Answer 1

【答案】箭頭最后指向?yàn)橛烧�上方順時(shí)針轉(zhuǎn)處。

【解析】

設(shè)木棍的質(zhì)量為，所受墻面的正壓力與摩擦力（向上）為；所受木板的正壓力與摩擦力（向上）為。設(shè)木板與墻面的夾角為，如圖乙所示。則木棍的平衡方程為豎直方向

. ①

水平方向：. ②

轉(zhuǎn)動(dòng)：. ③

1.要使木棍即將在墻面上先滑動(dòng)（左滑），這時(shí)

， ④

而. ⑤

根據(jù)③式，左滑條件④⑤兩式可合寫為

. ⑥

由②③④得

. ⑦

由⑥⑦兩式可得

. ⑧

將代入⑧式，得

. ⑨

這就是左滑時(shí)所應(yīng)滿足的條件。

由⑨式可以看出，當(dāng)小時(shí)此式無法滿足。可見左滑在大于臨界角時(shí)發(fā)生，滿足

. ⑩

此式即⑧式取等號(hào)的情況，由此可知這時(shí)為同時(shí)處于最大摩擦力的臨界狀態(tài)。當(dāng)小于時(shí)發(fā)生右滑，即木棍在墻面上滑動(dòng)而在木板上無滑動(dòng)滾動(dòng)。

2.討論木棍右滑條件，這時(shí)

， ④

. ⑤

右滑條件成為. ⑥

由②③④式得與的關(guān)系為

. ⑦

由⑥⑦式得

. ⑧

此式正好與⑧式相反，即右滑在小于⑩式的時(shí)發(fā)生。結(jié)論：當(dāng)時(shí)右滑，即在木板上滑動(dòng)；當(dāng)時(shí)左滑，即在墻面上滑動(dòng)。

3.求臨界角，即解⑩式.

兩邊平方并消去得

.

其解為

滿足⑩式，是所求的解；而另一解不滿足⑩式，是增根，應(yīng)舍去。結(jié)果：當(dāng)時(shí)右滑（在木板上滑動(dòng)）；當(dāng)時(shí)左滑（在墻面上滑動(dòng)）.

4.計(jì)算箭頭轉(zhuǎn)角

設(shè)張角在，，時(shí)木棍中心的高度（從轉(zhuǎn)軸算起）分別為.

由于，由圖丙可知

，

，

.

當(dāng)木棍由下落至時(shí)，順指針轉(zhuǎn)角：

.

當(dāng)木棍由下落至時(shí)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)角：

.

而在這一過程中，木板本身順指針轉(zhuǎn)了，因此箭頭的最后指向?yàn)?/span>。所以，箭頭最后指向?yàn)橛烧�上方順時(shí)針轉(zhuǎn)處。