Question

【題目】在如圖所示的圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且隨時(shí)間而變化，在垂直于的某平面上已建立坐標(biāo)系.一根光滑絕緣細(xì)空心管相對(duì)軸對(duì)稱地固定在軸上，且處在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi).與間的夾角為，其中為磁場(chǎng)區(qū)域中央軸與平面的交點(diǎn).管內(nèi)有一質(zhì)量為、帶電量為的光滑小球，時(shí)它恰好靜止在位置.設(shè)的正方向如圖甲所示，在該方向上其值（可正、可負(fù)）隨時(shí)間的變化規(guī)律為

，其中、均為正的常量.設(shè)的這種變化規(guī)律恰好能使小球在、之間作以為中心、長(zhǎng)度之半為振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng).

（1）求出與、、、之間的關(guān)系；

（2）設(shè)長(zhǎng)為，請(qǐng)確定管所受小球作用力在軸上的投影與小球位置之間的函數(shù)關(guān)系，并定性畫出曲線，但需標(biāo)定曲線上的特征點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）

（2）變化規(guī)律圖像如圖所示

【解析】

為便于思考分析起見，把磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化畫成正弦圖像，根據(jù)楞次定律，可得個(gè)的時(shí)間段內(nèi)渦旋電場(chǎng)的方向，如圖乙所示.如圖丙所示，質(zhì)點(diǎn)速度始終與軸重合，洛侖茲力始終沿方向，渦旋電場(chǎng)力始終垂直于質(zhì)點(diǎn)和的瞬時(shí)連線.諧振回復(fù)力只是電場(chǎng)力的分力，在方向上則是電場(chǎng)力的分力和洛侖茲力及軌道壓力保持平衡.

以下解題過程需要用到兩個(gè)必備公式.

①.

②如果，

則.

（1）首先，變化磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)大小跟有關(guān).

因?yàn)?/span>，所以，.

說明渦旋電場(chǎng)的大小既隨時(shí)間變化又隨空間位置變化.

其次，沿軸方向質(zhì)點(diǎn)加速總是指向平衡位置，按個(gè)時(shí)間段的實(shí)際情況，總與反向，如圖乙所示.

.

已知質(zhì)點(diǎn)做諧振，振幅，得

，

所以，.

（2）下面考慮方向上的力，我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論磁場(chǎng)取垂直紙面向里方向還是垂直紙面向外方向，總指向軸正方向，故式子成立.

，

，

故.

-變化規(guī)律圖像如圖所示，結(jié)合的表達(dá)式看圖像

，

可見，在處，大小為，此處，沿方向.在處，大小為，此處洛倉(cāng)茲力為零，沿軸方向.的位置是.

本題有如下幾點(diǎn)值得我們思考：

1.靜電場(chǎng)與渦旋場(chǎng)在對(duì)電荷的作用力方面沒有差別，這是否意味著靜電場(chǎng)與渦旋場(chǎng)在其他方面也沒有差別呢？

2.在競(jìng)賽中，如同本題一樣，若要求用函數(shù)圖像來(lái)描述物理量之間的關(guān)系，在圖像上，即便是題目沒有作具體的說明，能標(biāo)注點(diǎn)的具體坐標(biāo)的，必須予以明確標(biāo)注.

3.本題在命題方面是否還有需要完善的地方？如小球的重力考慮與否？那么，對(duì)于不完善的試題，臨場(chǎng)時(shí)，我們又該如何應(yīng)對(duì)呢？