Question

【題目】如圖所示，質(zhì)量分別為、（）的“母子球”，從高度h處自由下落。證明：大球與地面相碰后，小球從大球頂反彈的最大高度達(dá)9h。

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

兩球在落地前均有向下的速度，先與地彈性碰撞后速度變?yōu)橄蛏系?/span>，取向上為正方向，根據(jù)碰撞中的雙守恒，有

，

。

由此解得與發(fā)生彈性碰撞后的速度變?yōu)?/span>。

若，則有，故反彈后能達(dá)到的最大高度為。

我們也可以變換參考系，利用彈性碰撞時(shí)接近速度等于分離速度的結(jié)論來(lái)進(jìn)行分析。假如你站在大球上，當(dāng)大球與地面彈性碰撞后，將觀察到小球以的速度靠近，彈性碰撞后亦以的速度離開(kāi)，這時(shí)小球?qū)Φ氐乃俣葹?/span>，同樣可以得到其最大高度為9h。

如果在上面再放一個(gè)小球，且滿足，我們可以求解得到，反彈后能達(dá)到的最大高度為49h。

如果在100m高樓上做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，要使最上面的球碰撞后能達(dá)到第一宇宙速度，需要疊放幾個(gè)球呢？

通過(guò)推理得到第n個(gè)球反彈獲得的速度為

，

有，

解得。所以需疊放8個(gè)球。

當(dāng)然，8個(gè)球在空間垂直線上要實(shí)觀彈性碰撞是很難做到的，何況要滿足限制條件，如小球質(zhì)量比，欲使一顆質(zhì)量為的小球獲得第一宇宙速度，的質(zhì)量要達(dá)到，它足以毀壞大樓的地基。